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流體力學(xué)野史

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某一天吃罷午飯,與艾倫和艾達兩位同事在濱江步道小散幾步。他們談起自己見(jiàn)到的幾位港星和日本星,問(wèn)我是否認識,我只能呵呵了。除了各種星,我熟悉的名人也不是那些有錢(qián)的人,王石開(kāi)什么公司,許家印最近在干啥,馬云雙11賺了多少,這些問(wèn)題我也不感冒。也可能正因為如此,窮且益艱往往是本人的自畫(huà)像。。。

有一次在辦公室麥克Z突然說(shuō)我很會(huì )講故事,這句話(huà)怎么理解都可以。反面的意思是說(shuō)我迂腐,喜歡忽悠。也可以正面理解成說(shuō)話(huà)有條理,某些事情點(diǎn)破不說(shuō)破。

提到了名人,也提到了故事。那么我倒是很想講一串名人的故事,這些我熟悉的名人穿插了兩三個(gè)世紀,給人類(lèi)建立了理論流體力學(xué)和應用流體力學(xué)大廈。幾個(gè)世紀的故事,瑕疵是難免的了,本篇取名野史就是希望各位正史愛(ài)好者們見(jiàn)諒。

1:五帝本紀

我的流體力學(xué)啟蒙始于大學(xué)化工原理的王國勝老師,書(shū)中化工管路流動(dòng)損失計算用到伯努利方程。

伯努利這位老大哥在日常實(shí)驗中發(fā)現管路里面速度大了相應的壓強就會(huì )降低,善于記筆記的他在1738年出版水動(dòng)力學(xué)書(shū)本時(shí)正式提出了流體速度與壓強呈現反比的關(guān)系。遺憾的是受限于自己數學(xué)語(yǔ)言不是很強悍,沒(méi)能給出具體公式。就寫(xiě)信給附近的數學(xué)小王子歐拉助攻一下,在1752年給出了明確的數學(xué)公式。

伯努利方程闡明了流體靜壓(勢能)與速度的平方(動(dòng)能)可以相互轉換,在光滑管路內兩者的總和處處相等。工程中管路流動(dòng)、空中的飛機飛行都離不開(kāi)伯努利公式。前年老家修自來(lái)水,我提出從山頂直接引農夫山泉到家,但是老大哥們感覺(jué)中間加一個(gè)開(kāi)口的水塔會(huì )更加刺激,其實(shí)這樣會(huì )中途損失水的勢能導致自來(lái)水流動(dòng)慢。當時(shí)我想甩一個(gè)伯努利方程給他們看,可惜他們都不認識這個(gè)人,所以最后自來(lái)水流速不夠,鄉親們日常生活中也就只能忍受特別慢的農夫山泉了。 

圖1:伯努利方程

數學(xué)小王子可能覺(jué)得伯努利方程只用到了初等數學(xué),逼格不高。于是施展乾坤大挪移把伯努利方程從初等數學(xué)一下子拉到微積分層面。升級成伯努利方程2.0版本:歐拉公式。。。這個(gè)公式講的是動(dòng)量守恒和質(zhì)量守恒兩個(gè)事情,歐拉巧妙的把守恒概念植入到流體力學(xué)之中,后世流體力學(xué)研究無(wú)論時(shí)空如何變化,守恒終生相伴。。。

圖2:歐拉公式

一七八幾年,兩位老伙計攜手相繼離開(kāi)地球了,來(lái)了一個(gè)數學(xué)界的潘多拉:柯西??粗?zhù)伯努利一維初等方程,到升級版的三維微積分歐拉公式還不夠過(guò)癮,本著(zhù)欲練此功必先xx的態(tài)度,發(fā)布了九維張量方程:柯西動(dòng)量定理。。。。

九維張量是個(gè)啥水平?你學(xué)了初中數學(xué)就可以理解一維伯努利方程,上完同濟版高等數學(xué)也能對三維歐拉公式有點(diǎn)感覺(jué),但是通透的理解九維柯西張量方程估計得博士水平了,而且是頭發(fā)沒(méi)剩幾根的那種。當然柯西本人也掉的差不多了。。。。

圖3:柯西動(dòng)量定理

柯西這個(gè)潘多拉帶來(lái)了九維張量,可以分解為歐拉方程中三維壓力和其余六維剪切應力。這個(gè)剪切應力就好像林家的辟邪劍法,很難破解。后來(lái)納維和斯托克斯兩位數學(xué)家發(fā)現這個(gè)剪切應力跟流體擴散現象有一腿,因此兩位一起集成了兩個(gè)克服辟邪劍法的絕招:粘性和散度。通過(guò)粘度和速度散度的乘積就可以得到剪切應力。

流體粘性早在100多年前就被牛頓基于實(shí)驗驗證,但是歐拉方程局限于三維空間無(wú)法體現粘性,因此歐拉方程也稱(chēng)為無(wú)粘流體方程。納維和斯托克斯首次將粘性植入到流體方程中,從此流體力學(xué)方程終于包含了粘性的本性。

納維斯托克斯方程偏微分屬性太強,兩位老前輩創(chuàng )作了一門(mén)絕世武功,這門(mén)武功的特點(diǎn)是納維和斯托克斯都不知道如何破解自己的武功。他倆活著(zhù)的時(shí)候也沒(méi)看到有人能夠給出解析解,到200年后的今天也還是沒(méi)有。2000年美國克雷數學(xué)研究所將該方程列為七大千禧年大獎難題,誰(shuí)能給出解析解便獎勵一美金。

圖4:納維斯托克斯方程

有了絕世武功,就有人想破解這里面的秘密。由此就演變成了兩派,熟悉金先生《笑傲江湖》的讀者可以理解成華山的氣宗和劍宗。華山氣宗覺(jué)得劍法要先練氣,然后將自己的氣匯聚到一些特定招式的劍法中,就能練成君子劍。劍宗則推薦不要拘泥于劍法招式,要先看透劍法的本質(zhì)然后融會(huì )貫通。令狐沖前期就跟著(zhù)岳不群練氣宗的華山劍法,后期偶然學(xué)了劍宗傳人風(fēng)清揚的獨孤九劍。

在求解納維斯托克斯方程中也分成了兩大求解陣營(yíng)。第一陣營(yíng)主要基于宏觀(guān)流體實(shí)驗數據歸納總結,然后建立一些模型來(lái)近似求解。第二陣營(yíng)主要是通過(guò)對微觀(guān)世界天馬行空的想象來(lái)建立萬(wàn)物共性規律,最終實(shí)現直接求解。

2:宏觀(guān)求解演義:實(shí)驗歸納

1842年,誕生了一個(gè)叫雷諾的英國人。他觀(guān)察不同管徑不同速度流動(dòng)現象,通過(guò)歸納總結發(fā)現管內雷諾數一旦超過(guò)某一個(gè)臨界值后,水流就會(huì )出現紊亂現象。1883年雷諾發(fā)表文章描述這個(gè)實(shí)驗??提出層流和湍流概念。層流和湍流都是流體粘性的宏觀(guān)表現,雷諾將納維斯托克斯方程中的粘性投射到宏觀(guān)的具體流動(dòng)過(guò)程。這樣就可以通過(guò)實(shí)驗歸納法來(lái)建立粘性的數學(xué)模型。

圖5:雷諾實(shí)驗

雷諾首先提出了求解N-S方程的思路,將瞬態(tài)的速度分解成隨時(shí)間統計平均速度和脈動(dòng)速度。這樣基于瞬態(tài)速度的N-S方程就轉變成描述時(shí)均速度規律的時(shí)均N-S方程,但是還有一個(gè)后娘養的脈動(dòng)速度甩不掉:九維張量雷諾應力。

圖6:RANS模型

脈動(dòng)速度在流動(dòng)中最直觀(guān)的表現就是漩渦,因此雷諾應力簡(jiǎn)單理解就是漩渦對流動(dòng)的反向作用力。1877年,和雷諾同一年出生的布西內斯克假設漩渦也具有粘性特質(zhì),并且假設九維雷諾應力等于漩渦粘性乘以流體的變形量。這樣求解九維的雷諾應力就被化解成求解一維虛擬的渦粘系數。如此看來(lái),布西內斯克在武俠世界中練的是化功大法。

圖7:渦粘模型

布西內斯克正愁著(zhù)自己提出的虛擬貨幣變現問(wèn)題,一向務(wù)實(shí)的德國土財主普朗特帶著(zhù)混合尺度模型直接將他的虛擬貨幣完全套現。至此雷諾應力可以求解,基于雷諾平均的納維斯托克斯方程(RANS)也終于有了適合工程應用的近似解。

但是大家在破解RANS方程實(shí)踐中發(fā)現破解邊界流動(dòng)異常耗費精力。普朗特又拿出可以拍星星的華為P30手機拍攝了很多流體在壁面附近的流動(dòng)現象,在1904年提出流體在固體壁面附近的分層現象以及簡(jiǎn)化N-S方程:邊界層方程,使得N-S方程在壁面附近的求解明顯上升。

圖8:混合尺度假設和邊界層方程

3:微觀(guān)求解演義:天馬行空遐想

介質(zhì)在微觀(guān)世界中可以認為是由無(wú)數的顆粒組成,這些顆粒之間時(shí)刻在發(fā)生相互碰撞。這些碰撞過(guò)程不僅我們的眼睛分辨率不足以觀(guān)察,即使能拍星星的華為P30手機也不能夠。既然看不到無(wú)數個(gè)微觀(guān)分子的碰撞過(guò)程,那就先借鑒一下牛頓大帝300多年前球體的碰撞理論。

說(shuō)到牛頓,他給我們的感覺(jué)就不是來(lái)自地球的物種。他首先在數學(xué)上描述了兩個(gè)光滑硬球碰撞,并提出了動(dòng)量和動(dòng)能守恒定理。

基于牛頓的球體碰撞邏輯,如果把微觀(guān)世界中每一個(gè)分子的速度信息都掌握起來(lái),那么宏觀(guān)世界的粘度,壓力和其他的宏觀(guān)熱物理屬性就瞬間了然了,因為溫度和壓力就是特定動(dòng)能的粒子束基于特定的碰撞頻率在邊界上進(jìn)行碰撞的宏觀(guān)表現。這就像風(fēng)清揚傳令狐沖獨孤九劍的時(shí)候讓他要盡量的忘卻以往特定招式,只需建立一個(gè)無(wú)招勝有招的感覺(jué)。

 圖9:動(dòng)量/動(dòng)能守恒定理

無(wú)招勝有招,說(shuō)著(zhù)容易做起來(lái)難?;谝陨戏肿觿?dòng)理論計算過(guò)程需要確認每個(gè)粒子在空間位置的速度和速度分量,并且計算時(shí)間步長(cháng)也需要小于粒子的碰撞頻率(1E-12s)。如此龐大的計算量使得分子動(dòng)力學(xué)無(wú)法處理大尺寸問(wèn)題,因此需要統計數學(xué)方法來(lái)橋接微觀(guān)和宏觀(guān)世界。上帝首先派麥克斯韋來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。。。

麥克斯韋覺(jué)得研究分子在三維空間復雜分布是走進(jìn)了死胡同,把關(guān)注點(diǎn)換成運動(dòng)分子在不同速度分布的概率就好辦多了。于是他巧妙的把一個(gè)三維問(wèn)題降低到一維問(wèn)題,由此在1859年提出了麥克斯韋速度分布方程??梢?jiàn)牛人總是善于把復雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,蠢人嘛,此處省略八個(gè)字。

圖10:麥克斯韋速度分布定理

麥克斯韋隨后忙著(zhù)研究電磁理論去了。上帝這次又派玻爾茲曼來(lái)進(jìn)行收尾工作。玻爾茲曼總結了麥克斯韋分布方程,發(fā)現這個(gè)想法很值得好好搞搞,并首先意識到熱力學(xué)中熵增現象與統計學(xué)概率狀態(tài)的關(guān)系:系統內熵增過(guò)程對應微觀(guān)尺度內分子分布趨向最大概率分布現象。

玻爾茲曼隨后提出的統計力學(xué)解釋并預測微觀(guān)原子和分子的行為如何決定宏觀(guān)物理屬性,例如粘性、熱導率和擴散系數等。值得一提的是,這些物理量之前研究中多是通過(guò)大量實(shí)驗數據歸納數學(xué)模型來(lái)近似計算,整個(gè)研究過(guò)程更是從雷諾一直跨越到普朗特。然而玻爾茲曼從微觀(guān)世界入手,一人基于統計力學(xué)徒手得到了宏觀(guān)物理量精確計算方法。所以說(shuō)玻爾茲曼帶著(zhù)人類(lèi)穿越了微觀(guān)分子世界與宏觀(guān)流體世界,架起了一座連接微觀(guān)與宏觀(guān)的介觀(guān)尺度橋梁:玻爾茲曼方程。 

圖11:玻爾茲曼方程

由于太多過(guò)于前衛的想法不被同時(shí)代的科學(xué)家承認,玻爾茲曼在1906年抑郁自殺。是年,清朝正式廢除科舉制。。。

以上兩種求解流體力學(xué)的方法隨著(zhù)計算機的發(fā)展,分別發(fā)展成了有限體積法(FDM) 和格子玻爾茲曼方法(LBM)。后世關(guān)于渦粘模型又衍生了很多湍流模型,例如k-e,k-w,LES,VLES等等?;贔DM方法的求解器源于實(shí)驗歸納,對很多工程流動(dòng)問(wèn)題求解中非常高效?;贚BM方法的求解器源于微觀(guān)概率統計,近年在很多FDM無(wú)法求解的復雜問(wèn)題領(lǐng)域獨領(lǐng)風(fēng)騷。

最后,僅以此文緬懷給我飯碗的流體力學(xué)前輩們。。。。。。

作者:獨孤求靜

聲明:文章已授權,首發(fā)獨孤求靜公眾號,部分圖片源自網(wǎng)絡(luò ),如有不當請聯(lián)系我們,歡迎分享。

流體基礎
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首次發(fā)布時(shí)間:2020-01-17
最近編輯:4年前
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